艺术与建筑的黄金比例
斐波那契认为，计算是一种艺术形式；对他来说，计算是一种 “奇妙 “的美。他认为用印度教-阿拉伯数字进行计算的艺术很有吸引力，因为使用这些数字有利于创造和谐、有序、匀称的尺寸。对于像斐波那契这样的商人来说，秩序是美丽的。他的癖好无论是在他的时代还是在我们的时代都不罕见。现代神经科学研究支持古老的假设，即人类喜欢秩序和对称的美学吸引力。有证据表明，”人类可以在大约0.05秒内检测到对称性。这个刺激持续时间太短，眼球运动无法完成”。建筑师唐-鲁格尔斯在其题为《美，神经科学与建筑，永恒的模式及其对我们的幸福感的影响》一书中总结道：”这意味着人类的对称性处理是一种全球性的、硬连接的大脑活动”（米勒）。对和谐的渴望–最古老、最原始的审美渴望之一–仍然存在；斐波那契序列帮助人们将美的主观成分客观化（《如易》）。
客观美可以比双边对称或镜像更复杂；特殊的数字排序和比例在不同的应用中都很明显，如文学文本（欧几里得的《元素》和莎士比亚的十四行诗）和建筑（帕台农神庙和泰姬陵）、植物学（红玫瑰）和雕塑（Polycleitus的Doryphoros）。经典的观点是，当不可分割的部分被安排成一个连贯的整体，表现出比例、和谐、对称、统一和秩序时，美就存在了。亚里士多德认为，数学科学独特地展示了美的主要形式，即秩序、比例、对称和确定性（大小限制）（《形而上学》第2卷，1705年[1078a36]）（斯塔霍夫40）。更确切地说，他提出，”一个活的生物，以及每一个由部分组成的整体，必须……在其部分的排列中呈现出一定的秩序”，才能被认为是美的（《诗学》第2卷，2322[1450b34]）（萨特维尔）。
亚里士多德的导师、希腊哲学家柏拉图（公元前427-347年）提出了灵魂和谐的三方理论（《共和国》，约公元前380年），”认识到完美的数字和比例的最高美是建立在极端和平均比例的划分原则之上的”（《黄金部分》）。这种古老的和谐理论极大地影响了欧洲文化中科学和艺术的发展（斯塔霍夫41）。
例如，罗马建筑师和军事工程师马库斯-维特鲁维乌斯-波利奥（Marcus Vitruvius Pollio，简称维特鲁维乌斯）写了一篇关于古代建筑和工程史的论文，其中也强调了结构和谐的重要性（De Architectura，On Architecture，约公元前20年）。由于该书是唯一一部从古代完好无损地保存下来的此类著作，它不仅是希腊和罗马建筑的宝贵资料，而且也是其他广泛主题的资料，如 “科学、数学、几何学、天文学、占星术、医学、气象学、哲学，以及建筑的美学和实用性对公民日常生活的重要影响”（卡特赖特）。重要的是，维特鲁威将建筑的特点描述为体现了受潜在统一性制约的复杂性的美。他说，建筑由秩序（希腊语：taxis）、安排（希腊语：diathesis）、比例、对称、装饰和分配（希腊语：oeconomia，经济）组成（Sartwell）。 天文学家约翰内斯-开普勒（Johannes Kepler，1571-1630年）也表达了类似的观点，他认为 “对外部世界的所有调查的主要目的应该是发现上帝强加给它的、他用数学语言向我们揭示的合理秩序与和谐”（Stakhov 42）。 作为研究的数学工具，斐波那契数列和黄金比例经常被用来测量一些古典艺术和音乐对象的秩序和和谐。 自古以来，相对于黄金比例而言，具有可测量的和谐和对称比例的物体被认为是特别吸引人、优雅和美丽的。
根据毕达哥拉斯的观点，当一条线的分割使两部分中较大和较小的部分之间的比值与原线和其较大的分线之间的比值相同时，就会产生最美、最悦目的比例，交替称为黄金平均数或黄金比（”如易”）或黄金段。
黄金分割的特性可以被挪用在数学序列和几何图案的时间以及空间模式中（Akhtaruzzaman和Shafie）。对斐波那契数与艺术和音乐领域的关系进行广泛的调查后发现，世界上一些最杰出的艺术作品都结合了基于斐波那契数列和/或黄金比例的设计。除了前面提到的美丽的物体外，还包括吉萨的胡夫的Cheops大金字塔、图特摩斯制作的奈费尔蒂蒂雕塑像、大多数希腊雕塑纪念碑、达芬奇的蒙娜丽莎等。雅典学派和拉斐尔的其他作品，什什金和康斯坦丁-瓦西里耶夫的画作，肖邦的蚀刻画，作曲家贝多芬、柴可夫斯基、德彪西和贝拉-巴托克的音乐作品，以及柯布西耶的Мо杜洛尔（Stakhov 59，辛哈）。
斐波那契(FIBONACCI)在艺术和建筑中的应用
如前所述，比萨的莱昂纳多在《自由阿巴奇》第12章中提出的 “兔子问题 “所产生的数字包括一个与黄金比率有惊人联系的序列。斐波那契数列中连续数字的比率（其中每一个后续数字是前两个数字的总和）以越来越高的精确度成为黄金平均数φ的合理近似值。数字的幅度越大，它们的发展图就越能产生黄金比率（Posamentier和Lehmann；”一样简单”）。因此，斐波那契数被用作建筑或设计中的尺寸，以 “规避使用无理数（φ）的困难”（Posamentier and Lehmann 232）。”对斐波那契数的现代崇拜可以追溯到1877年”，当时法国数学家爱德华-卢卡斯（Edouard Lucas）看到了斐波那契数的意义，并将其命名为 “斐波那契数列”（”As Easy”）。现代艺术家和建筑师对斐波那契数列着迷，但与过去几个世纪 “对黄金比率的痴迷 “相比，”这简直是小巫见大巫”。最著名的是帕台农神庙的建筑师应用了黄金比例，但也被每一位文艺复兴时期的工程师所应用，他们试图在每一座古典建筑中 “重新发现毕达哥拉斯失落的和谐”，以模仿菲迪亚斯的巨著（”易如反掌”）。
例如，有证据表明，哥特式城堡的建造者们使用的砖是以黄金矩形为基础的一种特殊的矩形平行管状，这些砖被称为金砖。据推测，哥特式建筑遗迹之所以具有惊人的强度和耐久性，是因为使用了金砖（Stakhov 22）。文艺复兴时期的建筑师、艺术家和设计师经常在著名的艺术作品、雕塑、绘画和建筑中采用金科比例（Akhtaruzzaman和Shafie）。根据许多历史学家的观点，他们远不是第一个。事实上，古往今来的许多建筑师 “在他们的草图和施工图中，或直观或刻意地使用了黄金分割，或用于整个作品，或用于部分的分配”（Posamentier和Lehmann 231）。希腊数学之父毕达哥拉斯也被认为是 “美学之父”。亚里士多德的《形而上学》为他的导师关于 “一个被表象的混沌所掩盖的纯净、干净的宇宙 “的信念提供了证明。毕达哥拉斯相信数字 “揭示了这种隐藏的秩序”。正是他（或他的一个追随者）首先证明了 “拨弦的自然音符只有而且总是以规律的间隔出现–当弦按2：1、3：1等比例细分时”。毕达哥拉斯人认为，在 “最宏大的宇宙层面 “也存在着同样的和声。”球体的音乐 “就是从这样的毕达哥拉斯理论中衍生出来的形而上学原理（《如易》）。
毕达哥拉斯运用了算术、几何和谐波比例以及黄金分割法则。他对黄金分割给予了特殊的考虑，选择五角星作为 “毕达哥拉斯联盟 “的独特符号。柏拉图分析了五种有规律的多面体(所谓柏拉图固体)，强调它们的理想美，进一步发展了毕达哥拉斯的和谐理论(斯塔霍夫40)。
在毕达哥拉斯之后不久，希腊数学家菲迪亚斯(Gr. Φειδίας)(公元前490-430年)在设计帕台农神庙的雕塑时似乎应用了π。 在菲迪亚斯之前的两千年，在地中海彼岸，埃及的金字塔工程师是一位独具匠心的建筑师，他们在大金字塔（Akhtaruzzaman和Shafie）的结构设计中同时使用了Pi（π）和Phi（φ）。 金字塔不仅是法老遗体的储藏室，也是对法老威严和权力的赞颂，是国家财富、历史和文化的纪念碑。 这些金字塔清楚地显示出深厚的 “科学知识”，体现在它们的形式、大小和地形方位上。 “金字塔的每一个部分及其形式的每一个元素都是经过精心挑选的，以显示金字塔创造者的高度知识水平。” (Stakhov 34)。
金字塔的建造是为了经久不衰，”万古长青”。”正如阿拉伯谚语所说：”世界上所有的人都害怕一个时代。然而，一个时代却害怕金字塔”（斯塔霍夫34）。直角三角形的斜边（与直角相对的那条边）的平方等于其他两条边的平方之和的数学原理，早在毕达哥拉斯证明之前，埃及人就已经知道了（毕达哥拉斯定理）。他们选择黄金直角三角形作为建造Cheops’金字塔的几何校准工具。据计算，Cheops’金字塔的初始高度等于H=（L/2）×τ=148.28米，那么金字塔的外部面积与底座的比值就等于黄金平均数（Stakhov 36）。
斐波那契在太阳观测中的应用
三千年到五千年前，大约在金字塔建成的同时，阿尔卡伊姆和巨石阵也建成了；在乌克兰伊奇尼亚市附近的切尔尼戈夫地区，利用黄金比例建造了又一个观测太阳的人造工具。贝兹沃夫卡是一座青铜时代的古建筑陆碑，占地近二十平方公里。古代土堆被认为是游牧部落的墓地，直到最近，航拍记录和计算机应用才有可能确定其真实用途。
乌克兰基辅国立农业大学的农业化学家和土壤科学家奥列克桑德-克里卡夫卡认为，贝兹沃夫卡和其他比较著名的史前遗迹一样，是一个古代太阳观测站。他说，这是一个 “规模不可思议的科学仪器，其组成部分是陆地、天空和宇宙物体”。在贝兹沃夫卡高原的土丘群，可以在地平线上辨别出太阳和其他天体运动的规律。克利卡夫卡解释说，阿尔卡伊姆位于北纬52°39′，巨石阵位于北纬51°11′，别兹沃夫卡位于北纬50°31′。在它们之间近两千公里的距离上，”三个天文台位于一条带内，地球的真实形状（非理想球体）与想象中的正确形状交错在一起”。三个观测站都可以在6月22日–一年中最长的一天(Klykavka)–看到东北方向的日出。
此外，Klykavka说：”中心和西部远地点之间的 “具体距离是830米，而不是700或1000米。这一点很重要，因为，如果一个想象中的巨大的斐波那契’黄金螺旋’能在天文台上空换位，使 “它的起点来自中心，那么螺旋就会经过几个近处的地点，然后再经过一些远处的地点”。他说，这就解释了为什么到一些远处的地点有2960米的距离”。”这是一个合理的解释，说明了为什么最初的8个土丘（现存5个）建得如此遥远（Klykavka）。
文艺复兴时期建筑中的斐波那契
在文艺复兴时期的建筑中，使用黄金比例或斐波那契数的建筑设计非常普遍。其中一个例子是佛罗伦萨的圣玛丽亚德尔菲奥雷大教堂，其穹顶由菲利普-布鲁内莱斯基（1337-1446年）于1434年建造。Giovanni di Gherardo da Prato(1426年)绘制的穹顶粗略草图展示了斐波那契数、55、89和144，以及17(斐波那契数34的一半)和72(144的一半)在拱顶部分(“单元 “或 “帆”)的弧度投影中的表现(Posamentier和Lehmann 239)。
“黄金文艺复兴时期的阿波罗计划”，诺拉-哈默曼和克劳迪奥-罗西的著作指出。”尖五曲线恰好是一个圆的弧度，其半径与内部八角形底座的圆周半径之比为8:5–这是斐波那契数列中的一个比值，它非常接近著名的黄金分割，即自相似的增长比。同样，尖四曲率也产生了外底八角形半径与穹窿曲率半径的3/2之比，这是斐波那契增长系列中的另一个比例。” (30)
最近在意大利南部的圣尼古拉教堂的外墙发现了隐藏的斐波那契数，当奥古斯丁人在十三世纪末，在文艺复兴的尖峰上对其进行扩建时，该教堂已经有几百年的历史。 又过了八百年，2015年的修复工作才有可能在教堂的一个门廊中发现一系列圆形和长方形的镶嵌物。 比萨大学的教授和岩石学专家Pietro Armienti在仔细观察大理石清洗过程时，发现大理石嵌体中的几何图形的排列包含了一种密码信息。 阿尔米蒂教授在 “文化遗产杂志 “上发表了研究报告，解释说，以前无法辨认的文物体现了对莱昂纳多-斐波那契（”斐波那契数”）研究成果的明确引用。
斐波那契序列的前九个数字1、2、3、5、8、13、21、34和55，表示设计中各个圆的半径。在阿尔米蒂教授看来，镶嵌的瓷砖 “可以作为算盘来绘制刻在给定半径的圆上的规则多边形的序列”，并且是 “为了很好地近似计算出 “刻在最大的圆上的 “规则多边形的边数”（”斐波那契数”）。
阿波纳奇数刻在圆内，圆刻在正方形内，正方形插在长方形内，其比例就是黄金比例。阿尔米蒂解释说：”黄金比率在背景的网格中反复出现，现在修复后完全可以看到，正是背景提供了理解月牙形的意义及其在立面上的突出位置的钥匙”（阿尔米蒂）。
Armienti的文章 “现代科学思想的中世纪根源。比萨圣尼古拉教堂外墙的斐波那契算盘 “是一篇引人入胜的研究报告，对设计中与斐波那契有关的各种部件进行了许多详细的描述，并解释了它们最终如何成为 “与学术哲学目标相一致的精英教育工具：古人智慧的珍贵礼物，其遗产必须得到重视”。
以下是他提供的一些细节。
同心冠状体在intarsia中形成了一个腰带，其最大和最小半径分别为21和13，其中心在直径34的圆上。这种排列方式描述了FN/FN-2=2与FN-3前进的特性。事实上，腰带中所有尺寸为21的圆都与圆55和中心尺寸为13的圆相切。参考直径，这意味着。110 = 42 + 42 + 26 这就意味着： 55=21+21+13 (或55/21=2前进=13). 同样的规则也适用于半径为34和13的圆，事实上34=13+13+8（在半径为13的两个圆之间有四个大小为2的冠状体，它们的中心位于圆34半径的两端）。
这样的线型边界的大小必然是2，因为21和13之间的差值是8，必须分布在四个大小相等的冠状体上。 昵塔西亚的其他线元素分别刻在55-2＝53（2是所有冠状体的宽度）的圆上，34-2＝32。
53和32是系列中55和34前面的N-2个斐波那契数的和。这种排列方式与上述斐波那契数列的第二个性质有关。
堞的下限排列在半径34-2的圆上，而它们的顶点则由半径42=55-13的圆所标示的一个结点来确定，半径1和2的圆也沿着这个结点排列。 (Armienti)
其他的细节，与intarsia周围的月牙的网格相连，证明设计者知道黄金比率和斐波那契数列之间的关系。这使他能够找到并近似地表现出一个给定半径r的圆形中的规则多边形（Armienti）。
必须得出的结论是，艺术家、神学家、数学家和工匠们紧密合作，”遵循基于斐波那契洞察力的共同密码，并对他们的艺术做出了完全的奉献”，创造了这一杰作。阿尔米蒂认为，他只破译了这个密码的一小部分，还有许多历史学和数学问题有待解决。例如，他说：”这个intarsia表明，艺术家们完全意识到他们的计划、斐波那契数列和黄金比率之间存在的联系，尽管直到今天，这些联系的发现都归功于17世纪初的数学家Luca Pacioli”（Armienti）。显然，Pacioli只是重新发现了几百年前其他人已经知道的东西–并受到尊敬。
雕塑的黄金比例
波利克里图斯和菲迪亚斯被认为是古典时代古希腊雕塑最著名、最权威的大师。他们的雕像一直被认为是美的标准和和谐的结构。波利克里图斯的多里弗斯（持矛者）雕像（公元前五世纪末/四世纪初）被认为是古典希腊艺术最伟大的成就之一。这座雕像是古希腊雕塑家建立的理想人体比例的原型。这个雕塑的名字特别重要，因为 “卡农”（有时拼写为 “Kanon”）不仅是一尊刻意表现完美人体比例的雕像，而且实际上是波利克利特在他的美学论文（也是题为 “卡农”）中所描述的实物代表。虽然他的书面论文和雕像原件现已遗失，但雕像的大理石复制品仍然存在，古代研究人员和历史学家的观察文字记录使现代人能够对一些人认为是完美人类形态的最精美模型进行代入式的考察(Sartwell)。
古代医生Aelius或Claudius Galenus（常被译为Galen，更著名的是Pergamum的Galen）（公元130-210年），将《圣典》描述为规定了身体的完美对称。他将雕像的比例描述为完美，”手指到手指，所有手指到掌心，手腕，所有这些到前臂，前臂到手臂，事实上一切到一切……就像《波利克里图斯法典》中写的那样”（Sartwell）。有人将这样的 “完美 “归功于波利克里图斯在创作中运用了黄金分割的原则。俄国建筑师G.D.格林姆分析了多里弗斯的和谐维度，并提出了《圣典》与 “黄金均值 “之间的以下联系（《建筑中的比例关系》1933年）。
- 第一道黄金分割线：在肚脐处 2. 第二处：躯干下半部分，通过膝盖 3.第三处：通过颈部线条(Stakhov 41)
除了帕台农神庙，菲迪亚斯还创作了巨大的雅典娜雕像，包括一座青铜雕像（战斗中的胜利者）和另一座象牙和黄金雕像雅典娜-帕提诺斯（圣母），以纪念雅典人对波斯人的胜利。他还为奥林匹亚的宙斯神庙（约公元前430年）创作了宙斯雕像，被认为是古代世界七大奇迹之一。
尽管他的雕塑具有前所未有的巨大尺寸（9米的雅典娜-帕提诺斯和13米的宙斯），但菲迪亚斯在建造这些雕塑时严格遵守了基于黄金分割的和谐原则（斯塔霍夫5-6）。
绘画、素描、肖像
“Phi不仅仅是数学和物理学中一个晦涩难懂的术语”。”它似乎不仅为设计和结构提供了信息，甚至为我们的审美偏好提供了信息。当研究对象(不是熟悉phi的数学家或物理学家)被要求观看随机的面孔时，那些始终被认为最有吸引力的面孔是那些表现出 “面部宽度与眼睛、鼻子和眉毛宽度之间的黄金比例 “的面孔。研究人员得出结论：”黄金比例引起了一种本能反应”(Hom)。
在文艺复兴时代，人们继续尝试创造一个和谐发展的人体理想模型。达芬奇（1452-1519）创造的理想人体模型广为人知。据说他的《维特鲁威人》画作说明了黄金比例（Hom）。正方形边与圆半径的比值相当于Phi的值，偏差仅为1.7%（Posamentier和Lehmann 257）。它清楚地显示出 “五边形 “或 “五重 “对称性，这是植物和动物的特征（Stakhov 43）。这个人的头、两只手和两条腿的位置呈五角星状，仿佛是五角星的光束。达-芬奇根据维特鲁威（Vitruvius）描述的比例（第三册第一章）来测量他理想中的男人（Cartwright）。
达芬奇为方济会修士Fra Luca Pacioli（约1445-1517年）的《De Divina Proportione》（1509年）一书绘制插图，后者在书中把Phi这个数字称为 “神圣比例”；达芬奇后来把这个sectionio aurea称为 “黄金部分”。许多人认为，达-芬奇因此 “有意识地受到这个宏伟比例的指导”，并在他的所有（或大部分）作品中使用黄金比例（Posamentier和Lehmann 260）。有人声称，他用它来定义他的画作《最后的晚餐》中的所有比例，”包括桌子的尺寸以及墙壁和背景的比例”。黄金比例也出现在他的标志性肖像画《蒙娜丽莎》中。据信，许多其他著名艺术家也采用了黄金比例，包括米开朗基罗、(Madonna Doni)拉斐尔(西斯廷圣母像)、伦勃朗(自画像)、修拉(马戏团游行)和萨尔瓦多-达利(半只巨大的杯子，上面悬挂着五米长的莫名其妙的附属物)(Posamentier和Lehmann；Hom)。
一个艺术家明确证明有意识地使用斐波那契数作为其作品的基本结构是不常见的。然而，德国的Rune Mields（生于1935年）就是这样一位艺术家，她解释说，她的作品《进化。她解释说，她的作品《进化：进步和对称III和IV》”受对称法则的制约”，因为”‘在一条上升的线上，借助莱昂纳多-皮萨诺著名的数学数列，即所谓的斐波那契数列，生成了一个三角形的进步”(Posamentier和Lehmann 266)。
现代建筑中的斐波那契
斐波那契的影响在现代建筑中依然无处不在，在现代建筑中，序列本身已经成为设计的一个特征。芬兰图尔库的发电站烟囱已经成为市中心的地标，因为它以两米高的明亮霓虹灯数字俏皮地展示了斐波那契序列的前十个数字（1、1、2、3、5、8、13、21、34和55）。”斐波那契烟囱 “是意大利艺术家马里奥-梅尔兹于1994年创作的一个环境艺术项目（Lobo）。这只是他众多结合斐波那契序列的 “概念性 “作品之一。他的 “斐波那契那不勒斯”（1970年）”由十张工厂工人的照片组成，以斐波那契数字从一个人到五十五个人的群体进行构建”。梅尔茨以斐波那契的数字为特色，因为他的愿望是 “抗议一个非人化的、以消费者为主导的社会”，通过创作受 “自然生命的许多生长模式的基础”（Livio 176）的序列启发的艺术。
Mole Antonelliana
Mole Antonelliana（1863-1889）原计划作为犹太教会堂使用，如今被用作电影博物馆；这座位于意大利都灵的五层建筑被认为是世界上最高的博物馆。它也是欧洲最高的砖结构，拥有最高的圆顶。在今天四面穹顶的一侧，红色霓虹灯照亮了第一个斐波那契数字。Il Volo Dei Numeri(数字的飞行)(1998年)由Mario Merz(《斐波那契-飞行》)设计。
Le Modulor
就像他之前的斐波那契一样，20世纪的建筑师Charles-Edouard Jeanneret（被称为Le Corbusier）（1887-1965）在旅行中被数学概念所吸引；他曾在欧洲旅行，并在调查所到之处的古代建筑时学习比例原理，特别是从德国建筑师那里（Cohen）。几十年后，勒-柯布西耶出版了《Le Modulor: A Harmonious Measure to the Human Scale Universally Applicable to Architecture and Mechanics》，并坚持认为他的作品是一个独特的、普遍适用的测量系统，它将赋予建筑一个面向人类尺度的数学秩序。”勒-柯布西耶将以脚为基础的英制测量系统与公制十进制系统结合起来，并将其与人体测量联系起来，发展了他的建筑比例学说。他从假设的人体标准尺寸出发，按照黄金比例标记出三个相互关联的区间”（《勒-柯布西耶》）。具体来说，他解释说：”一个人抬起手臂提供了空间位移的主要点–脚、太阳穴、头和抬起手臂的指尖–这三个区间产生了由斐波那契确定的若干截面”（Posamentier and Lehmann 241）。这是他所熟悉的 “一种线性或光学措施的工具，类似于音乐脚本”（科恩）。他用于 “规划建筑和工业产品的系统性 “工具 “获得了世界性的流行，并被无数的实践者所应用”（”Le Corbusier”）。
The Core
核心区以向日葵的形状和宇宙飞船的大小建造，最早建于2005年，并在2017-2018年进行了重新设计。康沃尔教育中心 “看不见的世界 “展览的所在地，该建筑采用自然形态（生物模仿）和可持续建筑以及基于斐波那契数（”How”）的模式进行设计。建筑师Jolyon Brewis解释说。”我们决定，建筑本身的结构应该来自于双螺旋，我们从自然界中这些螺旋背后的数学中寻找灵感来产生设计。我们很高兴地发现，这产生了一个高效而优雅的木梁网络”（”旅程 “9）。
现代摄影
旧金山风景摄影师迈克-斯皮纳克（Mike Spinak）讲述了包括摄影师在内的现代艺术家 “为了构图准则，从黄金均线中衍生出各种各样的数学构造 “的一些方法。他说 他们根据1. 618（黄金分割）来划分线段。他们做出一个长边是短边的~1.618倍的长方形（黄金矩形）。他们做出一个等腰三角形，其中三角形的两条长边是短边长度的~1.618倍（黄金三角形）。他们做出一个三角形，其中最长边的长度是第二长边的~1.618倍，第二长边的长度是最短边的~1.618倍（开普勒三角形）。它们组成了一个对数螺旋，每旋转四分之一圈，螺旋就会变宽约1.618倍（黄金螺旋）。以此类推，还有许多其他的，如黄金菱形、贝克尔的马鞍、圣安德鲁的十字形、布勒乌的长方形臂章。有些艺术家还喜欢更偏僻、更深奥的构造，如用黄金平均线或其分段来划分可见光光谱（Spinak）。
达拉斯摄影师詹姆斯-布兰登（James Brandon）为业余摄影师利用黄金比例构图的方法提供了一些建议。据Brandon介绍，软件程序Adobe Lightroom 3有一个黄金比例覆盖选项，用于裁剪图像。照片中的兴趣线或点被排成与黄金比例的网格相吻合。通过将斐波那契比的 “甜蜜点 “复制四次成网格，结果看起来是一个三分法则的网格。然而，仔细观察就会发现，这个网格并没有将框架精确地分割成三块。不是将框架1+1+1划分的三片网格，而是有一个网格将框架垂直和水平划分为1+.618+1（Brandon）。将斐波那契螺旋应用到构图中的一种流行方式是将 “画面的主要元素大约放置在黄金螺旋紧紧卷曲的’末端’与画面相适应的位置”。如果能把画面主体安排得 “使画面的一些线条大致遵循螺旋的线条”，那么这张照片 “就会被认为更加美观”。斯皮纳克列举的其他各种构造，偶尔也会 “用于选择相对比例–比如构图时，背景建筑的高度，在画面中是前景人物的1.618倍。或者，它们被用来选择图片调色板的颜色组合”（Spinak）。斯皮纳克说，将黄金平均数应用于构图的做法 “似乎已经被提升到了既定的正统地位”。他补充说，在谷歌上搜索这个话题，”会出现超过一百五十万条列表”。此外，”大多数基础摄影指导书都讨论了用黄金分割法构图”。Adobe Lightroom有 “程序中内置了几个黄金部分的覆盖，”包括黄金比例网格、黄金螺旋和圣安德鲁十字的覆盖。其他网站的访问者可以看到他们的图片 “与黄金均线叠加”。还有一些软件应用程序可以将电脑屏幕上的任何东西与各种黄金均值衍生的视觉构造进行叠加”。”最后，可以从数百个来源在线购买黄金平均数卡尺。
黄金平均数不仅在构图上很受欢迎，而且在分析构图上也很受欢迎。”分析师通过在图片上画出各种线条和图案叠加来解构图片”，并确定某张图片是否符合以及如何符合黄金均值的某种衍生物（Spinak）。
布兰登坚持认为：”斐波那契比是构图照片的有力工具，它不应该被视为与三分法则的小区别。虽然格子看起来很相似，但使用Phi有时可能意味着一张照片只是咔嚓一声，和一张感觉不太对的照片之间的区别。” “他认为Phi是一种远胜于使用的构图工具，”也是一种更聪明的、经过历史验证的构图方法”（Brandon）。
分形
作者Jess McNally将分形描述为 “由混沌方程形成的图案[，]包含随着放大倍数增加的复杂程度的自相似图案”。当你把一个分形图案分成几个部分时，就会产生几乎相同但较小的整体副本。通过复制或重复相对简单的分形生成方程，形成了无限的复杂性。独特但可识别的模式被创造出来。值得注意的是，在图案中形成的特定大小的几何形状的数量往往是斐波那契数！（McNally）。麦克纳利）。