莱昂纳多-皮萨诺（Leonardo Pisano），或 “斐波那契”，是希腊神学家和数学家毕达哥拉斯（约公元前569-475年）自称的艺术学生，他创造了 “数学 “一词（Μάθημα, ατος, τo, that which is learned）来代表研究形状、数量和空间的抽象科学（Donnegan 26）。 毕达哥拉斯主要对数字理论及其在音乐中的应用感兴趣，而不是在日常计算中使用数字（O’Shea）。 希腊数学家欧几里得也对斐波那契产生了很大的影响；如前所述，他在《元素》（约公元前300年）中的13本几何学著作（章节）提供了斐波那契熟知的几何学定义、假设和公理。 元素》被许多人认为是20世纪以前最具有科学意义的数学著作（”欧几里得”）。 “即使在今天，很大一部分的数学和几何初等教育也是建立在欧几里得传统基础上的”（《欧几里得》）。
早在毕达哥拉斯或欧几里德之前，人类就通过 “在棍子或骨头上划出记数的痕迹 “来记录计数（德夫林，《人》13）。从那时起，数学就有了很大的发展；今天，数学公式由计算机计算出来，非常不显眼，以至于大多数人倾向于 “只在他们自己沉浸的日常环境中思考数学”（Radford）。
数学技能练习的最早证明之一是由埃及文士阿赫梅斯（Ahmes，公元前1650年）所写的纸莎草纸，他记录了 “一系列87个练习和问题，大概是让学生在老师的帮助和指导下尝试”（Levy 21）。
数学中的 “无 “的概念最早可能是用一个点来表示一个空的占位符，但零在七世纪由印度数学家和天文学家Brahmagupta首次作为一个数字使用（而不是作为一个单纯的概念），他还设计了作为数字使用的规则（Levy 93）。由于 “无 “的观念在早期印度的宗教和哲学中很重要，因此，他们采用一个符号来表示它，要比拉丁（罗马）和希腊系统的符号更自然（Knott，”简介”）。因此，在印度，零被用于加减乘除，但不用于除法；用 “无 “除以某物的概念，即使对聪明的婆罗门古普塔来说也太难了（李维93）。
埃及的伊斯兰数学家，如阿布-卡米尔（约公元850年-约公元930年），在代数的发展中，特别是在黄金比率的使用（Sesiano）方面，产生了重要的但 “只是渐进的进步”。这种渐进式的进步也许并不是革命性的，但对于后来的数学家（如斐波那契）为推进下一个重大数学突破所做的准备是必要的（Livio 91）。
九世纪著名的阿拉伯商人苏莱曼（Suleimān）可能将印度教-阿拉伯符号（包括数字零）引入欧洲市场，”巴格达的Abū ‘l-Ḥasan ‛Alī al-Masūdī（卒于公元956年）东至中国海，南至桑给巴尔，西至大西洋；他讲到印度教徒用九个数字来计算（Smith和Karpinski）。 因此，伊斯兰数学家可能从印度学到了零这个数字，但 “未能在代数中利用它。” 几百年后，斐波那契也不像其他数字那样认为零是一个数字，而是在他的《自由阿巴西》（Liber Abaci）一书中把零称为一个符号（Levy 93）。
受过教育并（当然）精通拉丁语，斐波那契在一本后来被翻译成拉丁语并被命名为《Algoritmi de Numero Indorum》（关于印度教算术）的书中学习了al-Khwarizmi的印度教-阿拉伯教算术计算规则汇编（Devlin, Man 24）。第一次接触这本书，可能是在布吉亚，也可能是在地中海旅行时，这本书极大地影响了斐波那契对印度教-阿拉伯教算术的理解和实践。
虽然卡米尔和阿尔-克瓦里兹米是阿拉伯世界有成就的数学家，欧洲也有一些人知道他们的算术策略，但当时巴格达并没有出现一场商业革命，因为西方的商业主义 “还没有充分发展，新方法还没有产生广泛的影响”（德夫林，《发现》32）。
事实上，在12世纪初，其他解释印度教计算艺术的书籍也被写了出来，但新的数字并没有被热情地接受。然而，慢慢地，最初反对陌生数字和新计算方法的意大利商人和银行家最终理解了它比传统的罗马数字使用方法的优势。比如说，过渡到新的数学，省去了数板和其他原始的商业和银行手段。其中包括原始的计数棒的使用；贷款的货币价值写在计数棒上，而计数棒被一分为二。贷款人保留了最大的那一块–股票，成为 “股东”（Seife 81）。
社会不愿意采用印度教-阿拉伯教的算术系统，原因很多，这里只说几个。也许最重要的是人类对变化的天然厌恶。几千年来，罗马数字与古代计数装置和阿巴奇的工作已经足够好了；它们已经满足了加减乘除的需要。此外，成功地操作算盘几乎不需要什么解释（然而，要真正熟练地使用算盘需要大量的练习，特别是在乘以不同顺序的数字时）（Smith和Karpinski）。
另一个原因是，算盘主义者（算盘的拥护者）和算术家（赞成使用印度教-阿拉伯数字的人）之间的社会矛盾使这一更新、更有效的系统多年来一直没有被欧洲社会普遍采用。事实上，”在整个中世纪，商人们的账本上都有罗马数字，这表明[有些人]仍然是坚定的算盘主义者”（Levy 117）。
新成立的大学有时会对算法产生敌意，但更有力地阻碍了印度教-阿拉伯教数学方法的传播，这就是民政当局。13世纪末，意大利一些城市的地方政府禁止使用新数。例如，佛罗伦萨在1299年通过了禁止钱庄行会（银行家）使用阿拉伯数字的法规（利维117）。同样，帕多瓦大学的章程也要求文具商 “非按cifras，而是按literas claros”（通俗地翻译为 “不是用数字，而是用字母清楚地表示”）来保存书籍的价目表（Smith和Karpinski）。这在很大程度上是因为书面数字可以很容易地改变或伪造；例如，一支笔的简单挥动就可以将一个零变成一个6或9。罗马数字则不容易改变；例如，10用字母X表示。因此，银行家们用文字记录汇票，这也是我们今天写支票时仍在使用的做法（Ghusayni 84）。
斐波那契认识到零和其他阿拉伯数字的优点，他知道好处远远大于危害。同意他的意大利商人也继续使用它们，即使是在被禁止的情况下（Seife 81）。此外，无现金贸易社会的普及（通过发行汇票和支票），以及利息计算的发展，迫使银行相当务实地接受斐波那契推行的新计算方法。最后，各国政府屈服于商业压力，阿拉伯记数法在意大利蓬勃发展，并很快传遍整个欧洲（Seife 81）。
珠算家vs数学家
算盘主义者（有时也拼成abakists）是喜欢使用传统的罗马数字和机械工具（abaci、木板或格子图案的布）来进行运算的人，而算法家是接受书面的、象征性的印度教-阿拉伯教的位值符号（包括零）并使用算法方法或公式进行计算的人（利维112）。大多数算法家放弃了算盘的使用。
哲学家Gregor Reisch的著作《Margarita Philosophica》（智慧之珠）（1503）中的一幅插图描绘了传统和现代算术方法之间的斗争。这幅名为 “算术的寓言 “的木刻版画描绘了喜欢罗马数字并坚持传统（使用算盘）的人与采用算法并用纸笔计算的人之间的竞争。标有 “波提乌斯 “和 “毕达哥拉斯 “的横幅标明了图中人物的身份。古希腊学者毕达哥拉斯(约公元前500年)在插图的右边，他愁眉苦脸，使用一块数板，他代表的是阿巴克主义者。左边是罗马哲学家波爱修（约公元500年），他使用印度-阿拉伯数字，代表阿尔戈尔主义者（”斐波那契 “著名；”争议”），显得很高兴。
当然，这两个人都不在雷施的有生之年(公元1467年–1525年)活着，事实上，这两位古代哲学家的一生之间大约过了1000年，雷施和波爱修之间又过了1000年! 这幅木刻画是不合时宜的，属于它所描绘的时代之外的时代，画面中的人物都是符号，代表着思想。可以说，这幅木刻画是一种中世纪的信息图。
在两个数学对手之间，徘徊着算术的缪斯女神Arithmetica，她身穿装饰着阿拉伯数字的裙子。她的服饰装饰和她对波爱修斯形象的青睐表明，到14世纪末，阿尔戈里西米正变得越来越流行（O’Shea；O’Connor和Robertson）。在1400年至1700年之间的某个时候，它最终占据了上风。
欧洲经济体系对新数学的采用至少可以说是迟缓的，如果用Reisch书中的木刻来描绘，它可能是一只蹒跚的乌龟，而印度教-阿拉伯数字在学术界的传播则是一只冲刺的兔子。斐波那契在《Liber Abaci》中拥护了al-Khwarizmi和Kamil的印度教-阿拉伯数字系统，该书现在被认为是 “向西方传播印度教-阿拉伯数字以及如何用它们进行加减乘除的开创性著作”。比百科全书式的《Liber Abaci》更有影响力的是他的较小的、更容易理解的文摘《Libro di Minor Guise》(《较小的书》)，该书在商人中广泛流传，被有积极性的商人、商人和银行家复制了无数次(利维117)。
尽管斐波那契向人们展示了阿拉伯数字对于进行复杂计算的作用，但当时还没有发明印刷机；所以，在中世纪的大部分时间里，知识传播得很慢。”教皇和王公甚至伟大的宗教机构所拥有的书籍远比现时代的许多农民少得多”（Smith and Karpinski）。然而，与大多数使盈利效率提高的创新和策略一样，斐波那契书中的实际应用不能不在西方世界发展起来的市场经济的火柴盒中像野火一样蔓延。
一些历史学家断言，其他人关于算术的论文，如Alexander de Villa Dei（约公元1240年）的《Carmen de Algorismo》和Halifax的John（Sacrobosco，约公元1250年）的《Algorismus Vulgaris》比Fibonacci的论文影响更大，使用更广泛，”无疑对数字在普通人中的传播做出了更大的贡献”（Smith and Karpinski；”过渡”）。然而，最近的研究发现了数以百计被称为libri d’abbaco（”abbacus books”）或trattati d’abbaco（”abbacus tracts”）的手稿，这些手稿明确指出莱昂纳多的《自由阿巴奇》是中世纪晚期 “点燃现代商业世界之火的枪声 “或 “火花”，”因为它是一个高度易燃的景观”，已经经历了快速的商业扩张（Devlin Finding 25，27，33）。
现在看来，西方世界对采用莱昂纳多-皮萨诺如此 “严格 “地拥护的新数字似乎难以想象；这些数字显然比当时在基督教欧洲盛行的计算方法要优越得多! 用21世纪的话来说，Fibonacci的Liber Abaci是一种新的市场颠覆工具，因为它适合于一个新兴的市场领域（国际贸易），而该行业现有的工具（罗马数字和算盘）并没有提供足够的服务。
最初，当然也是在他活着的时候，斐波那契的著作在意大利得到了深入的研究和赞赏。该书中实用的 “经济 “部分被手写成手抄本，并以数千份的数量分发，据推测，这不仅是商人和贸易商的行为，也是13世纪下半叶突然出现的许多意大利白话学校的学生的行为。这些学校除了教授文学外，还教授商业数学（abbaco）和复杂的记账技能。因此，Liber Abaci不仅对Liber Abaci之后出版的大量算术小册子(trattati d’abaco)产生了重大影响，而且对14世纪蓬勃发展的abbaco学校也产生了重大影响(“教育”)。
什么是斐波那契(FIBONACCI)数字？
Liber Abaci的规模之大，几乎不可能(当然不切实际)完整地复制。Liber Abaci的英文版（由美国人Laurence Sigler开始翻译，并由他的妻子Joan在死后完成），”有600多页，用相当小的字体设置；例子是占据大部分页面的内容”（Devlin，Finding 88）。这本书一开始就对如何书写和操作印度-阿拉伯数字进行了解释和说明，然后斐波那契继续提供了印度-阿拉伯算术的基本原理，他 “用（许多）具体的数字例子来解释，很像今天小学生的学习方式”（Devlin, Finding 116）。在随后的章节中，他提供了现实世界的例子，并展示了解决与商业和公司特别相关的问题的宝贵方法。庞大的第十二章包含了259个工作实例（在Sigler的翻译中，该章占了187页的印刷页）（Devlin，Finding 119）。
斐波那契在《自由的阿巴奇》中引入了阿拉伯数字，并作了简单的说明： “九个印度数字是： 9 8 7 6 5 4 3 2 1.” “然后他断言，用这九个数字和符号0.可以写出任何数字（Horadam）。莱昂纳多估计，大多数人对理论的、抽象的问题不会有什么兴趣，他们会对实际应用感兴趣。因此，莱昂纳多 “想方设法把抽象的东西穿上熟悉的、日常的衣服”。他用 “娱乐数学 “把阿拉伯数字和印度教-阿拉伯教的位值十进位制都介绍给了欧洲（德夫林，文69；奥康纳和罗伯逊）。由于他曾广泛地旅行过，并且知道 “他的许多同胞都是经常旅行的人”，莱昂纳多相信关于旅行的金钱问题一定会引起广泛的兴趣，所以这些问题构成了他接下来的一组例子。对于他的第一个旅行者问题，他写道。一个人去卢卡做生意，想赚取双倍的利润 他在那里花了12迪纳里。然后他离开，经过佛罗伦萨，在那里他的钱翻了一番，花了12第纳尔。然后他又回到比萨，把钱翻了一倍，花了12第纳尔，有人提出他最后什么也没有了。有人寻求他一开始有多少钱（德夫林，发现124）。莱昂纳多在Liber Abaci中涉及的其他主题有：乘法和加法；减法；除法；分数；贸易和货币的实际任务和规则；会计；二次根和立方根；二次方程；二项式；比例；代数规则；通过抛出九来检查计算结果；进位；以及应用代数（《传记》）。
兔子问题
在现存的1228年第二版的第123-4页上，发现了这位年轻的、杰出的数学家 “在头脑中想象出的’abracadabric’兔子的理论家族”（第6行、第19行）。这个问题导致了斐波那契数和斐波那契数列的引入，而莱昂纳多今天最被人记住的就是这个问题。他提出了以下难题（译注）。
某人把一对刚出生的兔子，一公一母，放在一个用墙围起来的花园里。兔子在一个月大时就能交配，这样在它第二个月结束时，一只母兔就能再生产出一对兔子。如果这对兔子永远不死，而且每个月每对兔子都会生出一对新的兔子，从第二个月开始，这对兔子就会成为生产者，那么这对兔子一年能生产多少对呢？他接着解释道 “因为上述的一对兔子在第一个月就出生了， 你可以把它翻倍，这样一个月后就会有两对兔子。其中，有一对，也就是第一对，在第二个月生了孩子，所以第二个月有三对。其中两只在一个月内又怀孕了，这样第三个月就有两对兔子出生，所以这个月就有五对。其中有三对在同一个月怀孕，所以第四个月就有八对。其中，有五对夫妇又生了五对，如果再加上八对，第五个月就有十三对。其中，这个月生的五对夫妇没有在同一个月交配，但其他八对夫妇却怀孕了；所以在第六个月有二十一对。如果再加上第七个月出生的十三对夫妇，这个月就有三十四对夫妇。如果再加上第八个月出生的二十一对，这个月就有五十五对。如果再加上第九个月出生的三十四对，这个月就会有八十九对。再加上第十个月出生的五十五对，这个月就会有一百四十四对。
加上十一月份出生的八十九对，这个月就有233对。而如果最后再加上上个月出生的一百四十四对，最后就有三百七十七对。而如此多的夫妻将在年末所述的地方生下上述夫妻”
(《兔子》)。
我们假设。1. 一对兔子每年都有一对儿女。2. 这些孩子太小，要到两年后才会有自己的孩子。3. 兔子永远不会死。Eppstein观察到，最后一个假设是不现实的，但却使问题变得更简单：”在我们分析了更简单的版本之后，我们可以回过头来添加一个假设，例如兔子十年后死亡，但这并不会对问题的整体行为产生很大的改变。”
然后，我们将兔子的对数表示为时间的函数（以实验开始后的年数来衡量）（Eppstein）。
F(1) = 1 – 我们从一对兔子开始 F(2) = 1 – 他们太年轻，第一年不能生孩子 F(3) = 2 – 在第二年，他们生了一对孩子 F(4) = 3 – 在第三年，他们又生了一对 F(5) = 5 – 我们得到第一对孙子孙女。
这个问题产生了 “斐波那契序列”。1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 . . .
Fibonacci在Liber Abaci中省略了第一项（1）。这些数字的递推公式是：。F(0) = 0 F(1) = 1 F(n) = F(n – 1) + F(n – 2) n > 1 。虽然斐波那契只给出了序列，但他显然知道他序列中的第n个数是前面两个数（Scotta和Marketos）之和。”这个序列，其中每个数字都是前面两个数字的和，出现在许多不同的数学和科学领域”（O’Connor和Robertson）。
Fibonacci可能并没有发明兔子问题，而是把他自己从摩尔人那里或在旅行时学到的兔子问题包括在内（Knott）。他甚至可能依赖于 “克雷莫纳的杰拉德（Gerard of Cremona，公元1114-1187年）对Al-Khwˆarizmˆı作品的翻译，后者是以西班牙托莱多为基地，为（基督教）欧洲将阿拉伯文著作翻译成拉丁文的主要努力的先驱”（Scotta and Marketos）。序列F(n)已经被印度数学家所熟知和讨论，”他们对由一拍和两拍音符形成的节奏模式很感兴趣。这样的节奏一共有n个拍子，其数量就是F(n+1)。因此，Gospala(1135年前)和Hemachandra(约1150年)都明确提到了1、2、3、5、8、13、21……这些数字。
“斐波那契本人似乎并没有把它们联想到那么重要的地位；兔子问题似乎是他工作中的一个小练习”（Scotta和Marketos）。直到19世纪，这个数列才 “由于法国数学家爱德华-卢卡斯的工作而获得了主要的重要性和认可”。从那时起，数学史学家就想知道这些数字背后的真正灵感，以及Fibonacci是否完全意识到它们的重要性（Scotta和Marketos）。虽然斐波那契涵盖了众多的数学课题，但他最著名的是这个数字序列，后来在1838年被纪尧姆-利布里以他的名字命名，至今仍在被积极研究（”兔子问题”）。虽然 “兔子问题 “很有意思，也是他今天最著名的一个问题，但这绝不是Liber Abaci中提出的唯一重要的数学问题。例如，借用九世纪马哈维拉（Mahavira）（约800-870年）所著的《Ganita Sara Sangraha》一书中的一个场景，斐波那契提出了一系列的 “钱包问题”，以帮助那些可能想把钱分给两个或更多人的人。在日常用语中，他阐明了平等公平地分配某物（如金钱）所应遵循的规则。第一个 “钱包问题 “的解决方案填满了半张羊皮纸，然后他提供了许多更复杂的同一问题的变体及其解决方案，包括如何在三个人而不是两个人发现的钱包中分配相同数量的钱，四个人发现的钱包，最后是五个人发现的钱包。几页之后，斐波那契已经包含了十八个不同的钱包问题的解决方案，每个问题都有 “独特的转折，每个问题都使用了稍微不同的数字”。德夫林，发现121）。
FIBONACCI的数学贡献
一、数字
数字书写的位值系统比以字母为基础的罗马数字系统要容易得多；数字的位置决定了它相对于数字中其他数字的大小（例如，19中的1是 “十 “位上的第二位数字，表示价值是其名义价值的十倍或10×1）。斐波那契向商人和商人展示了如何使用算术的位值系统。
二、数字与小数
几个世纪以来，欧洲一直使用罗马数字系统，7个符号代表7个不同的数值，罗马数字2018可以写成MMXVVIII或IIIXVMM–字母顺序并不重要，因为字母的数值相加才是数字。
I=1 V=5 X=10 L=50 C=100 D=500 M=1000
在印度教-阿拉伯教系统中，数字的顺序总是很重要，因为每个数字的位置决定了它的价值；数字2018与8102是完全不同的。斐波那契迫使人们在商业上使用阿拉伯符号–1、2、3、4、5、6、7、8、9–这些符号在欧洲已经被人们所熟知，但在日常实践中还没有实施；最重要的是，这个数字系统包括一个零的符号。零是需要作为占位符的，因为它确保了数字被放置在适当的位置（列）；例如，2009年没有十和百。罗马系统会把2009写成MMIX，省略不用的数值。罗马人的算术并不简单，例如，MXVII加到LI上是MLVIII，XLI减去IV是XXXVII（Knott，”简介”）。在Liber Abaci (1228)中，Fibonacci承认他在出差时广泛研究了算术；回到意大利后，他热情地教授了他从阿拉伯数学家那里学到的算术规则，并在欧洲提供了第一个系统的十进制系统表示法（Knott，”简介”）。
斐波那契与代数
1225年，当斐波那契在向腓特烈皇帝的皮桑宫廷进行演示时，他展示了自己的数学能力，并解释了他将如何解决以下Diophantine代数问题：解x3+2×2+10x=20。由于认识到欧几里得用平方根解方程的方法行不通，斐波那契使用了 “他自己的独创方法，用（巴比伦）性小数符号给出了答案。他的近似方法比他同时代的阿拉伯人的近似方法要准确得多”，令听众震惊不已（Horadam）。在这次事件后不久，斐波那契又写了一篇简短的论文《Flos》（1225年）（《花》，这个名字令人费解，因为它与开花植物没有任何明显的关系），解释了他是如何得出这个代数问题和另一个问题的解决方案的。
在写Flos之前，斐波那契出版了一本包含代数方程解法的论文《书信集》（Epistola ad Magistrum Theodorum），也是今天数学家认为他最重要的著作。Liber Quadratorum, the Book of Squares (1225), 一本他献给皇帝的数论书. 在这本书中，他描述了平方的特性（如二、三、四平方数之和，或平方分数）和导致二次方程的任务（McClenon）。使斐波那契的成就更加令人印象深刻的是，他没有像我们今天这样使用代数符号，因为他没有这样的代数符号来帮助他。相反，他用线段的几何形式来表示数字，就像欧几里得那样。不过，他对过程和算法的描述还是出奇的清晰。例如，他对未知的x使用了res(事物)这样的短语，对x2他写了quadratus numerus(平方数)。下面的问题是他解决的计算类型的代表，他的解释方式几乎优于他之前所有的数学教科书作者。”找出一个平方数，当5被加减时，总会产生一个平方数。” 正如霍拉丹所说：”他能在这有限的数学设备上取得如此大的进步，实在是了不起。他在本书中的成就，正好证实了他是中世纪数论，特别是不确定分析的最伟大的阐释者”（《霍拉达姆》，书）。