本节选自《斐波那契大师：改变数学的人》。所有的引文都在引文页上编目。
FIBONACCI序列的起源
十三世纪初，中世纪的意大利正处于剧烈变革的时期，商业显著增长，经济稳定。该国资本充裕，用于资助建造令人惊叹的哥特式大教堂和众多大学。这些钱大部分来自于对无数商人征收的税款，这些商人经常往返于西边的地中海城市和港口，以及东边的小亚细亚、叙利亚和巴格达之间的广泛贸易。一些无畏的冒险家甚至远赴印度和中国，带回了异国的物资和新奇的思想、信仰和方法。通过贸易和战争接触到世界其他地区的人和来自世界其他地区的人、语言和文化，逐渐导致了欧洲的思想变革。
美国教授R.B.麦克莱农在《比萨的莱昂纳多和他的自由四分法》中解释说，十字军东征 “把欧洲人民从前几个世纪的昏昏欲睡中唤醒”，”使他们与东方更先进的知识发展面对面”。麦克莱农提醒我们，马可-波罗只是 “在那些激荡的日子里真正发现新世界的许多人中最著名的一个”。除了作为商品的载体，商人和政治代表还成为 “网络专家”，组成了某种 “文字网络”，提供了涵盖商业、政治、宗教和文学主题的书面文本的持续交流（Roselaar）。能够获得独特知识资源的宫廷获得了经济上的回报；因此，富裕的宫廷长期资助一些学者，赞助那些从宫廷到宫廷的学者，促进了新思想的传播。知识还通过翻译和抄写书籍的方式进行传播，这些书籍通常是在寺院里抄写的（”过渡”）。通过这种方式传入欧洲的最重要的思想是印度教的数字系统。
印度数字被引进到欧洲
西方数学最有影响的学者也许是希腊数学家欧几里得，他生活在公元前325年左右至公元前265年左右，他的几何学论著《元素》分十三卷（章）写成，包含了当时已知的一切数论。值得注意的是，它包括了对无理数的原始几何学处理，以及第一个已知的线段大段和小段之间的 “极值和平均值的比值 “的书面定义，也就是现在所谓的黄金比（Fitzpatrick）。欧几里得的《元素》一书的意义，从当时只有《圣经》被印刷出来并被研究得比较多（”欧几里得”）就可以看出。另一个重要的进步贡献者是萨勒诺医生君士坦丁，在十一世纪初，他在非洲、亚洲和印度旅行了三十九年，学习东方科学，他的手稿被当作教科书使用了几个世纪（史密斯和卡平斯基）。
印度教数字形式早在手稿记载其到达之前就出现在基督教欧洲，因为商人、旅行者和大使把它们从东方带到了各个欧洲市场。大多数商人相当善于运输和应用新的信息和商业方法，但不太关注记录来源，所以确定印度教数字形式的确切采用日期仍然是一个谜（Smith和Karpinski）。
计算：手指到ABACUS
几个世纪以来，穆斯林世界和欧洲的商人使用手指算术或机械算盘进行计算。最早的这些设备是简单的木板，上面撒满沙子，可以在上面描写数字。希伯来语中表示灰尘的 “阿瓦克 “可能是 “算盘 “这个名字的来源。后来的版本由一块平板组成，上面画有或刻有规则的线条；小卵石被放置在这些线条上，并在这些线条上移动，以表示加法或减法。由于卵石的拉丁语是calculus，这种早期的计算形式就被称为 “微积分”（Devlin，Finding 30）。中世纪的算盘有沿着导线滑动的计数器。一般来说，一个算盘有四根线，每根线上的珠子代表单位。一个算盘足以进行简单的算术运算，但当使用者试图处理更复杂的计算时，就会处于非常不利的地位。由于中世纪的商人大部分时间都是简单的加减法，所以他们只需用手指计算或罗马数字就能搞定。当然，最根本的劣势是缺乏一个地方值系统。Livio 93-94）。
在人类使用书面符号进行数学计算之前，他用图像来表示数字和数学运算。手指符号在计算时特别方便，也很受欢迎，但要成功地利用它，需要大量的练习来培养技巧和灵活性。尽管如此，由于它是一种可靠的计算方法，用手指计算的技能在不同的社会中被保留下来，代代相传（”计算”）。几个世纪以来，手指计算促进了跨越语言障碍的交流。为了教育大众，学者们将手指计算的表述抄写在书中；已知最早的抄写是由英国本笃会修士贝德（Venerable Bede，约673-735年）所写。在他的《De Ratione Temporum》一书中，他提供了 “关于用手指计算的完整解释和这种计算方法的规则”。他文中的图画表明，一个人用双手能够表示从1到9999的所有数字（《计算》）。即使在印度-阿拉伯数字问世后，用手指计算仍然很流行，因为它既能进行更高的计算，又能进行计数、加减法。学者们认为手指计算是如此重要，以至于计算手册如果不包含显示各种手指位置的图画，就会被视为不完整（”计算”）。
计算。手指和印度阿拉伯数字
后一个事实解释了为什么莱昂纳多-皮萨诺的第一本书《自由的阿巴奇》（Liber Abaci）中包含了关于 “数字必须如何握在手中 “的指导（德夫林，发现89）。在第一章的末尾，他包括了一套复杂的指算系统，作为 “新的 “位值系统计算的辅助工具。古老的指算方法并没有被算盘所废黜，也没有真正在中欧被推到后台，直到十三世纪印度-阿拉伯数字书面计算的胜利（《计算》）。
算盘或手指计算的问题是，这些方法需要大量的练习才能达到准确和速度。此外，由于 “这两种方法都没有留下计算记录”，所以没有办法纠正错误或检查准确性。
在交易时，需要能够定期检查记录和审计交易，著有《寻找斐波那契：探寻重新发现被遗忘的改变世界的数学天才》（31）的数学史学家基思-德夫林解释说。亟需一种更好的方法。在巴格达，在研究和翻译希腊和印度教数学文献的阿拉伯学者中，有一位杰出的数学家Abu Abdallah Muhammad ibn Musa Al-Khwˆarizmˆı（约780年至约850年）。到了十二世纪中叶，Al-Khwˆarizmˆı的两本书都被学者们翻译成了拉丁文。这些书成为欧洲人学习新数学的重要资源。但Al-Khwˆarizmˆı的方法不允许人们纠正错误，因为它 “涉及到取消和重写，这使得在计算完成后无法跟踪计算过程”（Devlin，Finding 76-80）。虽然Al-Khwˆarizmˆı在九世纪就写过关于印度教-阿拉伯数字的文章，但他的作品的翻译直到十二世纪才出现在欧洲。然而，即使在那时，印度教-阿拉伯数字直到15世纪才完全取代罗马数字的日常和商业使用。当一个地区采用印度-阿拉伯数字时，往往只有数学家、测量员和科学家使用；即使在阿拉伯土地上也是如此（Devlin，Man 42）。
用印度教-阿拉伯数字计算与算盘的使用共存，直到13世纪初。事实上，人们不愿意完全抛弃罗马数字的原因之一，可能就是因为它们 “很适合在算盘上使用”。在十世纪被封为教皇西尔维斯特二世之前，奥里亚克的格伯特是一位学者和教师，他发明了一种新的算盘，被称为格伯天算盘。他的算盘的计数器上标有印度教-阿拉伯教的数字（”过渡”）。一些十二世纪的阿拉伯论著的译本，关于algorism–通过九位数和零（Merriam-Webster）进行计算的艺术–介绍了用罗马数字进行的计算，而其他译本则使用印度-阿拉伯数字。十三世纪初，出现了一些 “非常有影响力的关于算法的论文”，这些论文 “比十二世纪的译本更熟悉新的数字系统”（”过渡”）。然而，不同地区的数字形式差异很大，欧洲没有一个地方只使用印度教-阿拉伯数字。在Al-Khwˆarizmˆı之后不久，伟大的埃及数学家阿布-卡米尔（Abu Kamil，约850-930年），《代数书》的作者，有时会对问题进行研究，直到他找到所有可能的解决方案；对于一个问题，他计算并记录了2676种解决方案！（Sesiano）。(Sesiano)。这种独特、细致的方法被莱昂纳多-皮萨诺所采用。